在微积分出现之前，计算复杂曲线形状的面积是一个难以逾越的难题。本课将静态几何——我们使用公式 $A = lw$ 计算正方形面积——与动态的微积分世界联系起来。我们发现，无论是计算抛物线拱形下的面积，还是火箭在太空中行驶的距离，其根本逻辑都是相同的：通过累加微小而可管理的切片来求解。
1. 面积问题：从多边形到极限
虽然多边形的面积可以通过分解为三角形来求得，但具有曲线边界的区域 $S$ 需要采用不同的方法。我们定义 面积问题 为在区间 $[a, b]$ 上，求连续且非负函数 $y = f(x)$ 下方的精确面积。
步骤一：划分
将区间 $[a, b]$ 划分为 $n$ 个等宽的子区间，宽度为 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$。端点分别为 $x_0, x_1, \dots, x_n$。
步骤二：近似
构造 $n$ 个矩形。使用 右端点 估计法（$R_n$），第 $i$ 个矩形的高度为 $f(x_i)$。总面积近似为 $A \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$。
步骤三：优化
当 $n$ 增大时，误差（矩形与曲线之间的空隙）逐渐消失。精确面积 $A$ 定义为极限：$\displaystyle A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$。
2. 距离与速度的双重性
该 距离问题 提出的问题是：如果物体的速度随时间变化，它会行进多远？若速度恒定，则 $distance = velocity \times time$；若速度变化，我们将其视为在极短的时间间隔 $\Delta t$ 内“局部恒定”。
“我们测量速度的频率越高，估算结果就越准确，因此可以合理推测，实际行驶距离 $d$ 是这些表达式的极限。”
例题：在 $[0, 1]$ 上求 $y = x^2$ 的面积（例1）
使用右端点估算函数 $y = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上的面积，取 $n=4$：
- $\Delta x = (1-0)/4 = 0.25$
- $R_4 = 0.25 [f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + f(1)]$
- $R_4 = 0.25 [0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1] = 0.46875$
使用左端点（$L_4$）的结果为 $0.21875$。真实面积被“夹在”这两个界限之间：$0.21875 < A < 0.46875$。
🎯 核心原理
积分本质上是将无穷多个无限小的部分相加，以求得整体的过程。速度-时间图像下的面积代表了总位移。
$Distance = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n v(t_{i-1}) \Delta t$